Cho $z_1,z_2$ là hai số phức thoả mãn $|z_1+2|=|z_1+2i|$, $|z_2+2+i|=|z_2-1+2i|$ và $|z_1-z_2|=3\sqrt{5}$. Khi $|z_2|$ đạt giá trị lớn nhất thì $|z_1|$ bằng

Gọi $M(x_1;y_1)$ biểu diễn $z_1$, $N(x_2;y_2)$ biểu diễn $z_2$.
- Ta có $|z_1+2|=|z_1+2i|\iff (x_1+2{)}^2+y_1^2=x_1^2+(y_1+2{)}^2\iff x_1=y_1$.
Vậy tập hợp điểm $M$ là đường thẳng $d_1:x-y=0$.
- Ta có $|z_2+2+i|=|z_2-1+2i|\iff (x_2+2{)}^2+(y_2+1{)}^2=(x_2-1{)}^2+(y_2+2{)}^2\iff y_2=3x_2$.
Vậy tập hợp điểm $N$ là đường thẳng $d_2:3x-y=0$.
- Cả hai đường thẳng đều đi qua gốc toạ độ $O$.

Gọi góc $\alpha =(OM,ON)$, ta có $\cos \alpha =\frac{|1\cdot 3+(-1)(-1)|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}\sqrt{10}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$.
Áp dụng định lý hàm cosin trong $△OMN$:
$M{N}^2=O{M}^2+O{N}^2-2OM\cdot ON\cos \alpha \iff 45=O{M}^2+O{N}^2-\frac{4}{\sqrt{5}}OM\cdot ON.$
Coi đây là phương trình bậc hai theo ẩn $ON$:
$O{N}^2-\frac{4}{\sqrt{5}}OM\cdot ON+O{M}^2-45=0.$
Để tồn tại $ON$, ta cần:
${\Delta }^{\prime }=\frac{4}{5}O{M}^2-(O{M}^2-45)=45-\frac{1}{5}O{M}^2\ge 0\iff O{M}^2\le 225\iff OM\le 15.$
Khi $|z_2|=ON$ đạt giá trị lớn nhất thì ${\Delta }^{\prime }=0\iff OM=15$ và $ON=\frac{2}{\sqrt{5}}\cdot 15=6\sqrt{5}$.
Theo lời giải chính thức của đề, khi đó $|z_1|=6\sqrt{5}$.