Chọn ngẫu nhiên 4 số $a,b,c,d$ thuộc tập hợp $S=\{1,2,...,2025\}$. Tính xác suất để 4 số chọn ra thoả mãn $a^2+b^2+c^2+d^2$ chia hết cho 5. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Số dư bình phương mod 5 chỉ là 0, 1, 4. Vì 2025 = 5·405 nên mỗi lớp thặng dư mod 5 có 405 số: có 405 số có bình phương ≡ 0 (mod 5), 810 số có bình phương ≡ 1, 810 số có bình phương ≡ 4 (mod 5). Dùng tổng đặc trưng: số bộ có thứ tự (a,b,c,d) với tổng bình phương chia hết cho 5 là N = (1/5)[2025^4 + Σ_{k=1}^{4} (405(1+2ω^k+2ω^{4k}))^4]. Với ω là căn nguyên thủy bậc 5 của 1, ta có 1+2ω^k+2ω^{4k} = 1+4cos(2πk/5) có giá trị tuyệt đối √5 với mọi k=1,2,3,4, nên mỗi số hạng bằng (405√5)^4 = 405^4·25. Vậy N = (1/5)[2025^4 + 4·25·405^4] = (1/5)[625·405^4 + 100·405^4] = 101·405^4/5·... chính xác N = 101·405^4/5·(1/5)... tính lại: N = (405^4/5)(625+100) = 145·405^4. Xác suất P = N/2025^4 = 145·405^4/(625·405^4) = 145/625 = 29/125 = 0.232? Kiểm tra lại: 625+100 = 725, N = 725·405^4/5 = 145·405^4, P = 145/625 = 0.232. Vậy P = 0.232, làm tròn đến hàng phần trăm là 0.23.