Chứng minh rằng hình chiếu song song của một hình thang là một hình thang (H.4.61).



Hình 4.61

(AI giải đề cho tôi)
Cho hình thang $ABCD$ với $AB\parallel CD$, $AB\ne CD$, nằm trong mặt phẳng $(\alpha )$. Chiếu song song hình thang này lên mặt phẳng $(P)$ theo phương chiếu $d$ không song song với $(\alpha )$, được tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ với $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ lần lượt là ảnh của $A,B,C,D$ (như Hình 4.61).

1) Tính song song được bảo toàn: Vì $AB\parallel CD$ nên theo tính chất của phép chiếu song song, hình chiếu của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau). Do phương chiếu $d$ không song song với $(\alpha )$, phép chiếu trên $(\alpha )$ là một phép biến hình, biến bốn đỉnh phân biệt thành bốn điểm phân biệt $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, và hai đường thẳng cắt không thể có ảnh song song. Vì $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $C^{\prime }{D}^{\prime }$ là ảnh của hai cạnh đối không cắt nhau của tứ giác nên chúng không trùng nhau. Suy ra $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$.

2) Hai cạnh còn lại không song song: Giả sử $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$. Xét phép chiếu ngược (phép chiếu song song từ $(P)$ lên $(\alpha )$ theo cùng phương $d$, cũng là phép biến hình vì $d$ không song song với $(P)$): ảnh của $A^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ là $AD$ và $BC$ phải song song (hoặc trùng nhau). Nhưng $AD$ và $BC$ là hai cạnh của tứ giác $ABCD$ nên không trùng nhau; do đó $AD\parallel BC$. Khi đó $ABCD$ có hai cặp cạnh đối song song, tức là hình bình hành, mâu thuẫn với giả thiết $ABCD$ là hình thang (chỉ có một cặp cạnh song song). Vậy $A^{\prime }{D}^{\prime }\nparallel B^{\prime }{C}^{\prime }$.

3) Tứ giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ không suy biến: vì phép chiếu song song theo phương không song song với mặt phẳng hình là song ánh giữa hai mặt phẳng, nên bốn đỉnh $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$ phân biệt, không có ba điểm thẳng hàng, tạo thành một tứ giác thực sự.

Kết luận: $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là tứ giác có đúng một cặp cạnh đối song song ($A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$), cặp cạnh đối còn lại không song song, do đó $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là một hình thang. Đpcm.

Lưu ý: Nếu phương chiếu song song với mặt phẳng chứa hình thang thì hình bị chiếu suy biến (thành các đoạn thẳng), nên ta chỉ xét trường hợp phương chiếu không song song với mặt phẳng chứa hình thang như trong Hình 4.61.