Chứng tỏ rằng phương trình $2x^5+a\left(x^2-1\right)+1=0$ luôn có nghiệm với mọi số thực $a$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=2x^5+a(x^2-1)+1$. Hàm số $f$ liên tục trên $\mathbb{R}$ (đa thức). Ta có $f(0)=a(0-1)+1=1-a$ và $f(1)=2+a(0)+1=3>0$.
- Nếu $a\le 1$ thì $f(0)=1-a\ge 0$; khi đó xét $f(-1)=2+a(0)+1=3>0$ và $f(-2)=2(-32)+a(3)+1=3a-63<0$ (vì $a\le 1<21$). Do đó $f(-2)\cdot f(-1)<0$, nên theo định lý giá trị trung gian phương trình có nghiệm trong $(-2;-1)$.
- Nếu $a>1$ thì $f(0)=1-a<0<3=f(1)$, nên phương trình có nghiệm trong $(0;1)$.
Vậy với mọi $a\in \mathbb{R}$, phương trình $2x^5+a(x^2-1)+1=0$ luôn có nghiệm.