Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}3& \text{neˆˊu }x\le 1\\ ax+b& \text{neˆˊu }1<x<2\\ 5& \text{neˆˊu }x\ge 2\end{array}$. Xác định $a,b$ để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục trên các khoảng $(-\infty ;1)$, $(1;2)$, $(2;+\infty )$ với mọi $a,b$. Để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$, chỉ cần liên tục tại $x=1$ và $x=2$.

Tại $x=1$: ${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=3$, ${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=a+b$, $f(1)=3$. Liên tục tại $x=1$ yêu cầu $a+b=3$.

Tại $x=2$: ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=2a+b$, ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=5$, $f(2)=5$. Liên tục tại $x=2$ yêu cầu $2a+b=5$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 2a+b=5\end{array}$, trừ hai phương trình ta được $a=2$, suy ra $b=1$.

Vậy $a=2,b=1$ khi đó hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ (khi đó $f(x)=2x+1$ trên $(1;2)$, và ${\lim }_{x\to 1}f(x)=3=f(1)$, ${\lim }_{x\to 2}f(x)=5=f(2)$).