Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $0\le x\le 2025$ và ${\log }_5(x+1)+x-2y=25^y-1$?

Phương trình tương đương ${\log }_5(x+1)+(x+1)={\log }_5(5^{2y})+5^{2y}$. Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{5}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $x+1=5^{2y}=25^y⟺x=25^y-1$. Vì $0\le x\le 2025$ và $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $1\le 25^y\le 2026⟺y\in \{0;1;2\}$ (ứng với $x\in \{0;24;624\}$). Vậy có $3$ cặp số nguyên $(x;y)$. Chọn đáp án B.