Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3(3^{x-2}+2y)=6y-x+1$ và $2022^{-1}\le y\le 2022$?

Điều kiện: $3^{x-2}+2y>0\iff 3^{x-1}+6y>0$.
Phương trình đã cho viết lại thành:
$2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3\left(\frac{3^{x-1}+6y}{3}\right)=6y-x+1$
$\iff 2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3(3^{x-1}+6y)+1=6y-x+1$
$\iff 2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3(3^{x-1}+6y)=6y-x$.

Đặt $u={\log }_3(3^{x-1}+6y)\Rightarrow 3^u=3^{x-1}+6y\Rightarrow 6y=3^u-3^{x-1}$.
Thay vào phương trình ta được:
$2\cdot 3^{x-1}-u=3^u-3^{x-1}-x\iff 3\cdot 3^{x-1}+x=3^u+u\iff 3^x+x=3^u+u$.

Xét hàm số $f(t)=3^t+t$ có $f^{\prime }(t)=3^t\ln 3+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$, nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $3^x+x=3^u+u\iff x=u$.
Với $x=u$, ta có $x={\log }_3(3^{x-1}+6y)\iff 3^x=3^{x-1}+6y$
$\iff 6y=3^x-3^{x-1}=2\cdot 3^{x-1}\iff y=\frac{1}{3}\cdot 3^{x-1}=3^{x-2}$.

Theo giả thiết, $2022^{-1}\le y\le 2022$:
$\frac{1}{2022}\le 3^{x-2}\le 2022\iff -{\log }_{3}2022\le x-2\le {\log }_{3}2022$
$\iff 2-{\log }_{3}2022\le x\le 2+{\log }_{3}2022$.
Vì $3^6=729<2022<3^7=2187$ nên ${\log }_{3}2022\approx 6.928$.
Suy ra $2-6.928\le x\le 2+6.928\iff -4.928\le x\le 8.928$.
Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$.
Để $y=3^{x-2}$ là số nguyên thì $x-2\ge 0\iff x\ge 2$.
Kết hợp lại ta được $x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$.
Với mỗi $x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$, ta có duy nhất một giá trị nguyên dương tương ứng của $y=3^{x-2}$.
Vậy có đúng $7$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.