Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn ${\log }_2(2x-2002)+x=y+1002+2^y$ và $1002\le x\le 2023$?

Biến đổi phương trình: ${\log }_2(2(x-1001))+x-1001=y+1+2^y\iff {\log }_2(x-1001)+1+x-1001=2^y+y+1$. Đặt $u={\log }_2(x-1001)\Rightarrow x-1001=2^u$. Phương trình trở thành $2^u+u=2^y+y$. Vì hàm số $f(t)=2^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên $u=y\iff {\log }_2(x-1001)=y\iff x-1001=2^y$. Do $1002\le x\le 2023\iff 1\le x-1001\le 1022\iff 1\le 2^y\le 1022\iff 0\le y\le 9$. Vì $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{0,1,2,\dots ,9\}$ (gồm 10 giá trị). Mỗi giá trị của $y$ cho duy nhất một số nguyên $x$. Vậy có 10 cặp số nguyên thỏa mãn. Chọn A.