Có bao nhiêu cặp số nguyên ( x; y ) thoả mãn
  
log 5 x  y  x  log 3 x  y
2 2 2 2
  log x  log  x  y  8x  ?
5 3
2 2

**Chọn C**

Điều kiện x  0.

    
log 5 x 2  y 2  x  log 3 x 2  y 2  log 5 x  log 3 x 2  y 2  8 x 
 x2  y 2  x   x2  y 2  8x   x2  y 2   8x 
 log 5    log 3   log 5  1  log 3 1  2 2 
 0.
 x y  x y 
2 2
 x    x 

x2  y 2  8
Đặt t  ,  t  0  . ta được bất phương trình log 5  t  1  log 3 1    0.
x  t
Xét hàm số
 8 1 8
f  t   log 5  t  1  log 3 1   ,  t  0   f   t     0,  t  0  .
 t  t  1 ln 5 t 2 1  8  ln 3
 
 t

Ta có f  4   0  t  4 hay x 2  y 2  4 x   x  2   y 2  22.
2

 x  0  x  0 x  0
Ta có      0  x  4.
 x  2   2  x  2   2
2 2
0  x  4
2 2

Với x  1  y  1, y  0, y  1 nên có 3 cặp  x; y  nguyên.

Với x  2  y  2, y  1, y  0, y  1, y  2. nên có 5 cặp  x; y  nguyên.

Với x  3  y  1, y  0, y  1 nên có 3 cặp.  x; y  nguyên.

Với x  4  y  0 nên có 1 cặp  x; y  nguyên.

Vậy có 12 cặp giá trị nguyên  x; y  .