Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ với $1\le x,y\le 2023$ và thỏa mãn $(2x+4y-xy-8){\log }_2\left(\frac{2x-1}{x-4}\right)\ge (xy+2x+3y+6){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)$?

Điều kiện: $\frac{2x-1}{x-4}>0$; vì $1\le x\le 2023$ nên $2x-1>0\Rightarrow x>4$, tức là $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ giá trị). Khi đó $\frac{2x-1}{x-4}=2+\frac{7}{x-4}>2\Rightarrow {\log }_2\left(\frac{2x-1}{x-4}\right)>1>0$. Bất phương trình viết lại thành $(x-4)(2-y){\log }_2\left(\frac{2x-1}{x-4}\right)\ge (x+3)(y+2){\log }_3\left(\frac{2y}{y+2}\right)$. Với $x>4$ và $y\ge 1$: nếu $y=1$ thì $VT>0>VP$ (thỏa mãn); nếu $y=2$ thì $VT=0=VP$ (thỏa mãn); nếu $y>2$ thì $VT<0<VP$ (loại). Vậy $y\in \{1;2\}$ và $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$, có $2\cdot 2019=4038$ cặp số nguyên $(x;y)$. Chọn C.