Có bao nhiêu cặp số nguyên $(x;y)$ với $x$ và $y$ nhận giá trị trong đoạn $[0;2022]$ sao cho $y-x-2\ge 0$ và $4\cdot 2^x-2^y+3(x-y)+6\ge 0$?

Từ giả thiết $4\cdot 2^x-2^y+3(x-y)+6\ge 0\iff 2^{x+2}+3(x+2)\ge 2^y+3y$ $(1)$.

Xét hàm số $f(t)=2^t+3t;t\in \mathbb{R}$, có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2+3>0;\forall t\in \mathbb{R}\Rightarrow f(t)$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Khi đó $(1)\iff x+2\ge y$ $(3)$.

Mà ta lại có $y-x-2\ge 0\iff y\ge x+2$ $(4)$.

Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $y=x+2\Rightarrow 0\le x+2\le 2022\iff -2\le x\le 2020$. Kết hợp với điều kiện $x\in [0;2022]$ ta được $0\le x\le 2020$.

Vậy có $2021$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.