Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên trong $[-2022;2022]$ để phương trình $\log (mx)=2\log (x+1)$ có nghiệm duy nhất?

**Chọn A**



Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}mx& >0\\ x& >-1\end{array}$.
Phương trình trở thành: $mx=(x+1{)}^2\iff m=\frac{(x+1{)}^2}{x}$ với $x>-1,x\ne 0$.
Xét hàm số $f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x}=x+2+\frac{1}{x}$ trên $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=0\iff x=1$ (do $x\in (-1;+\infty )\setminus \{0\}$).
Bảng biến thiên cho thấy:
- Trên $(-1;0)$: $f(x)$ giảm từ $0$ về $-\infty$.
- Trên $(0;+\infty )$: $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $f(1)=4$, rồi tăng lên $+\infty$.
Để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc điều kiện thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm thỏa mãn $mx>0$:
- Khi $x\in (-1;0)$, cần $m<0$: đường thẳng $y=m$ cắt nhánh $(-1;0)$ tại đúng 1 điểm (khi đó $m<0$ và $x<0\Rightarrow mx>0$, thỏa mãn). Tương ứng có các giá trị nguyên $m\in [-2022;-1]$: có $2022$ giá trị.
- Khi $x>0$, cần $m>0$: có nghiệm duy nhất khi $m=4$ (điểm cực tiểu tiếp xúc).
Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $2022+1=2023$ giá trị.