Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-20;20]$ để bất phương trình ${\log }_3{x}^2+m\sqrt{{\log }_3{x}^3}+m+1\le 0$ có không quá $20$ nghiệm nguyên?

Điều kiện $x\ge 1$. Đặt $t=\sqrt{{\log }_{3}x}\ge 0$, bất phương trình trở thành $2t^2+m\sqrt{3}t+m+1\le 0\iff m(\sqrt{3}t+1)\le -2t^2-1$. Để bất phương trình có không quá $20$ nghiệm nguyên $x\in \{1,2,\dots ,20\}$ thì $x=21$ không thỏa mãn, tức là với $t_0=\sqrt{{\log }_{3}21}$ ta có $m>\frac{-2t_0^2-1}{\sqrt{3}{t}_0+1}\approx -1,93\Rightarrow m\ge -1$. Kết hợp $m\in [-20;20]$ có $m\in \{-1;0;1;\dots ;20\}$, gồm $22$ giá trị nguyên.