Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in [-20;20]$ để hàm số $y=|2x^3-3(2m+3)x^2+6m(m+3)x|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$?

Xét hàm số $f(x)=2x^3-3(2m+3)x^2+6m(m+3)x$, ta có $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)=6[x^2-(2m+3)x+m(m+3)]=0\iff \left[\begin{array}{c}x=m\\ x=m+3\end{array}\right]$.



- **Trường hợp 1:** $0<m<m+3$. Để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ thì $m\ge 2$.
- **Trường hợp 2:** $m\le 0<m+3$. Để hàm số $y=|f(x)|$ đồng biến trên khoảng $(0;2)$ thì $m+3\ge 2\iff -1\le m\le 0$.
- **Trường hợp 3:** $m<m+3\le 0\iff m\le -3$. Khi đó hàm số $y=|f(x)|$ luôn đồng biến trên khoảng $(0;2)$.

Vậy $m\in (-\infty ;-3]\cup [-1;0]\cup [2;+\infty )$, kết hợp $m\in [-20;20]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có $39$ giá trị nguyên thỏa mãn.