Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x^2+2x+m}{x-1}$ nghịch biến trên khoảng $(1;2)$ và đồng biến trên khoảng $(4;5)$?

Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{(2x+2)(x-1)-(x^2+2x+m)}{(x-1{)}^2}=\frac{x^2-2x-2-m}{(x-1{)}^2}$. Để hàm số nghịch biến trên $(1;2)$ và đồng biến trên $(4;5)$, ta cần $x^2-2x-2-m\le 0,\forall x\in (1;2)$ và $x^2-2x-2-m\ge 0,\forall x\in (4;5)$. Giải hệ điều kiện ta được $-2\le m\le 6$. Tập hợp các giá trị nguyên của $m$ có $6-(-2)+1=9$ giá trị. Chọn D.