Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{x+6}{x+5m}$ nghịch biến trên khoảng $(10;+\infty )$?

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-5m\}$. Đạo hàm $y^{\prime }=\frac{5m-6}{(x+5m{)}^2}$.
Để hàm số nghịch biến trên $(10;+\infty )$ thì:
1. $y^{\prime }<0,\forall x\in (10;+\infty )⟺5m-6<0⟺m<\frac{6}{5}=1,2$.
2. Điểm gián đoạn $x=-5m$ không thuộc khoảng $(10;+\infty )⟺-5m\le 10⟺m\ge -2$.
Kết hợp lại ta được $-2\le m<1,2$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0;1\}$. Có 4 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn C.