Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $125.5^{x^2}-(12x^2-12m+37)5^m=0$ có hai nghiệm phân biệt?

Phương trình tương đương $5^{x^2+3-m}=12(x^2-m)+37\iff 5^{x^2+3-m}-12(x^2+3-m)-1=0$.
Đặt $t=x^2+3-m$, xét hàm số $h(t)=5^t-12t-1$.
Ta có $h^{\prime }(t)=5^t\ln 5-12$, $h^{\prime \prime }(t)=5^t(\ln 5{)}^2>0,\forall t\in \mathbb{R}$, nên phương trình $h(t)=0$ có tối đa $2$ nghiệm.
Nhận thấy $h(0)=0$ và $h(2)=25-24-1=0$, nên $h(t)=0\iff [\begin{array}{l}t=0\\ t=2\end{array}\iff [\begin{array}{l}{x}^2=m-3\\ x^2=m-1\end{array}$.
Để phương trình có đúng $2$ nghiệm phân biệt thì $m-3\le 0<m-1\iff 1<m\le 3$.
Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101: 50.C), với trường hợp $m-3<0<m-1\iff 1<m<3$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có $1$ giá trị nguyên ($m=2$). Chọn C.