Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[0;10]$ để bất phương trình ${\log }_2\frac{x^2+2x+m+1}{x^2+2x+2}\ge 2x^2+4x+7-2m$ có nghiệm. Số phần tử của tập hợp $S$ bằng

Viết lại bất phương trình thành: ${\log }_2(x^2+2x+m+1)+2(x^2+2x+m+1)\ge {\log }_2[2(x^2+2x+2)]+4(x^2+2x+2)$. Xét hàm đặc trưng $u(t)={\log }_{2}t+2t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, bất phương trình tương đương: $\{\begin{array}{l}{x}^2+2x+m+1>0\\ x^2+2x+m+1\ge 2(x^2+2x+2)\end{array}\iff m\ge x^2+2x+3=(x+1{)}^2+2$. Để bất phương trình có nghiệm thực $x$ thì $m\ge {\min }_{\mathbb{R}}[(x+1{)}^2+2]=2$. Với $m\in [0;10]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta có $m\in \{2;3;4;5;6;7;8;9;10\}$, gồm $9$ phần tử.