Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $16^{{\log }_3|\cos x|}+12^{{\log }_3{\cos }^{2}x}-{\cos }^{2}x=2^{-m^2+6m}$ vô nghiệm?

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 (trang 13): Chọn B.
Điều kiện xác định: $\cos x\ne 0$.
Xét hàm số $f(x)=16^{{\log }_3|\cos x|}+12^{{\log }_3{\cos }^{2}x}-{\cos }^{2}x=4^{2{\log }_3|\cos x|}+4^{{\log }_3{\cos }^{2}x}{3}^{{\log }_3{\cos }^{2}x}-{\cos }^{2}x=4^{{\log }_3{\cos }^{2}x}+12^{{\log }_3{\cos }^{2}x}-3^{{\log }_3{\cos }^{2}x}$.
Đặt $t={\log }_3{\cos }^{2}x\le 0$ (vì $0<{\cos }^{2}x\le 1$), bài toán trở thành tìm $m$ nguyên để phương trình $g(t)=4^t+12^t-3^t=2^{-m^2+6m}$ vô nghiệm với $t\le 0$.
Ta có $g^{\prime }(t)=4^t\ln 4+12^t\ln 12-3^t\ln 3=0\iff {\left(\frac{4}{3}\right)}^t\ln 4+4^t\ln 12=\ln 3\iff t=t_0\approx -1,677$.
Bảng biến thiên trên $(-\infty ;0]$:

Tại $t=0$ (khi ${\cos }^{2}x=1$) thì $g(0)=1$, và $g(t_0)<0<2^{-m^2+6m}$.
Do đó phương trình vô nghiệm với $t\le 0$ khi và chỉ khi $2^{-m^2+6m}>1\iff -m^2+6m>0\iff 0<m<6$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$, có $5$ giá trị nguyên.
(Lưu ý: Phần hướng dẫn giải đính kèm ở trang 38-39 đặt nhầm điều kiện $t<0$ thay vì $t\le 0$, dẫn đến giải $2^{-m^2+6m}\ge 1\iff 0\le m\le 6$ và chọn A, trong khi bảng đáp án chấm thi chính thức Mã đề 101 ở trang 13 là B.)