Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $3^{\frac{m}{2}}+\frac{4}{3}\sqrt[3]{\frac{m}{2}+\sin (x^2+2019)}=\frac{4}{3}\sin (x^2+2019)$ có nghiệm thực?

Đặt $u=\sqrt[3]{\frac{m}{2}+\sin (x^2+2019)}⟹u^3=\frac{m}{2}+\sin (x^2+2019)⟹\sin (x^2+2019)=u^3-\frac{m}{2}$.
Phương trình trở thành:
$3^{\frac{m}{2}}+\frac{4}{3}u=\frac{4}{3}\left(u^3-\frac{m}{2}\right)⟺3^{\frac{m}{2}}+\frac{4}{3}\cdot \frac{m}{2}=\frac{4}{3}{u}^3-\frac{4}{3}u.$
Đặt $t=\sin (x^2+2019)\in [-1;1]$. Xét hàm đặc trưng và điều kiện có nghiệm thực của phương trình, ta tìm được đúng 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.