Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $[-10;10]$ sao cho với mỗi $m$ đó, hàm số $y=\frac{e^{x-2}-1}{x+m}$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$?

Ta có $y^{\prime }=\frac{e^{x-2}(x+m-1)+1}{(x+m{)}^2}$. Hàm số đồng biến trên $(1;3)$ khi và chỉ khi $-m\notin (1;3)$ và $e^{x-2}(x+m-1)+1\ge 0,\forall x\in (1;3)⟺m\ge 1-x-e^{2-x},\forall x\in (1;3)$. Xét hàm $h(x)=1-x-e^{2-x}$ trên $[1;3]$, ta có $h^{\prime }(x)=-1+e^{2-x}=0⟺x=2$, với ${\max }_{[1;3]}h(x)=h(2)=-2$. Kết hợp $m\notin (-3;-1)$ và $m\ge -2$, ta được $m\ge -1$. Với $m\in [-10;10]\cap \mathbb{Z}$, có $12$ giá trị nguyên $m\in \{-1;0;1;\dots ;10\}$. Chọn đáp án B.