Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $(3^{x+1}-\sqrt{3})(3^x-2m)<0$ khác rỗng và chứa không quá $5$ số nguyên?

Ta có $3^{x+1}-\sqrt{3}=0\iff x=-\frac{1}{2}$. Với $m\in {\mathbb{Z}}^{+}$, ta có $2m\ge 2>3^{-1/2}$, nên bất phương trình tương đương $-\frac{1}{2}<x<{\log }_3(2m)$. Để tập nghiệm chứa không quá $5$ số nguyên (tức các số nguyên có thể là $0,1,2,3,4$) thì ${\log }_3(2m)\le 5\iff 2m\le 243\iff m\le 121,5$. Vậy có $121$ giá trị nguyên dương của $m$.