Có bao nhiêu số nguyên $a\in [-10;10]$ để hàm số $y=(a^2-9)x^4-(a+3)x^2+3$ có điểm cực đại?

Với $a=-3$: $y=3$ là hàm hằng nên không có cực trị.
Với $a=3$: $y=-6x^2+3$ đạt cực đại tại $x=0$.
Với $a\ne \pm 3$: $y^{\prime }=4(a^2-9)x^3-2(a+3)x=2x\left[2(a^2-9)x^2-(a+3)\right]=0\iff [\begin{array}{l}x=0\\ x^2=\frac{1}{2(a-3)}(\ast )\end{array}$.
- TH1: $a>3$, khi đó $(\ast )$ có $2$ nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{\frac{1}{2(a-3)}}$, hàm số có $3$ cực trị nên luôn có điểm cực đại.
- TH2: $-3<a<3$, khi đó $a^2-9<0$ và $-(a+3)<0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
- TH3: $a<-3$, khi đó $a^2-9>0$ và $-(a+3)>0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm, hàm số chỉ đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $a>-3$, kết hợp $a\in [-10;10]$ và $a\in \mathbb{Z}$ ta có $a\in \{-2;-1;0;1;\dots ;10\}$ gồm $13$ số nguyên. Chọn A.