Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng ba số nguyên $b$ thỏa mãn $(2^b-2)(a\cdot 3^b-20)<0$?

TH1: $\{\begin{array}{l}{2}^b-2>0\\ a\cdot 3^b-20<0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^b>2\\ 3^b<\frac{20}{a}\end{array}\iff 1<b<{\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)$.
Để có đúng ba số nguyên $b$ ($b\in \{2;3;4\}$) thì $4<{\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)\le 5\iff 81<\frac{20}{a}\le 243\iff \frac{20}{243}\le a<\frac{20}{81}$.
Trường hợp này không có số nguyên dương $a$ thỏa mãn.
TH2: $\{\begin{array}{l}{2}^b-2<0\\ a\cdot 3^b-20>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{2}^b<2\\ 3^b>\frac{20}{a}\end{array}\iff {\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)<b<1$.
Để có đúng ba số nguyên $b$ ($b\in \{0;-1;-2\}$) thì $-3\le {\log }_3\left(\frac{20}{a}\right)<-2\iff \frac{1}{27}\le \frac{20}{a}<\frac{1}{9}\iff 180<a\le 540\Rightarrow 181\le a\le 540$.
Trường hợp này có $540-181+1=360$ giá trị nguyên dương $a$ thỏa mãn.