Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ để tồn tại số thực $x>1$ thỏa mãn $x\left(2^{xy}+{\log }_2(xy)\right)=x{y}^4+15xy-30+10y$?

Phương trình tương đương với $g(x)=2^{xy}+{\log }_2(xy)+\frac{30-10y}{x}=y^4+15y$ $(1)$.

- Với $y\in \{1;2\}$: thử trực tiếp đều tồn tại $x>1$ thỏa mãn phương trình.
- Với $y\ge 3$: hàm số $g(x)$ có $g^{\prime }(x)=y\cdot 2^{xy}\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}+\frac{10y-30}{x^2}>0,\forall x>1$ nên $g(x)$ đồng biến trên $(1;+\infty )$.

Do ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=+\infty$, phương trình $(1)$ có nghiệm $x>1$ khi và chỉ khi $g(1)<y^4+15y\iff 2^y+{\log }_{2}y-25y+30-y^4<0$.

Xét $h(y)=2^y+{\log }_{2}y-25y+30-y^4$ với $y\in \mathbb{Z},y\ge 3$: ta có $h(y)<0$ với mọi $y\in \{3;4;\dots ;16\}$ và $h(y)>0$ với mọi $y\ge 17$.

Vậy $y\in \{1;2;\dots ;16\}$, có tất cả $16$ giá trị nguyên dương $y$ thỏa mãn.