Có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $f(x)=3x+m\sqrt{x^2+1}$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Phương pháp: Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Cách giải: $f^{\prime }(x)=3+\frac{mx}{\sqrt{x^2+1}}\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vì $\left|\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\right|<1$, ta có $-1<\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}<1$. Do đó điều kiện cần và đủ là $|m|\le 3\iff -3\le m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-3;-2;-1;0;1;2;3\}$, có 7 giá trị.
Chọn C.