Giả sử $f(x)$ là một hàm số có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết rằng $G(x)=x^3$ là một nguyên hàm của $g(x)=e^{-2x}f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Họ tất cả các nguyên hàm của $e^{-2x}{f}^{\prime }(x)$ là

Phương pháp: Sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần và mối quan hệ giữa hàm số và nguyên hàm.
Cách giải: Xét $I=\int e^{-2x}{f}^{\prime }(x)dx$. Đặt $u=e^{-2x}\Rightarrow du=-2e^{-2x}dx$; $dv=f^{\prime }(x)dx\Rightarrow v=f(x)$. Khi đó $I=e^{-2x}f(x)+2\int e^{-2x}f(x)dx$. Vì $G(x)=x^3$ là nguyên hàm của $e^{-2x}f(x)$ nên $e^{-2x}f(x)=G^{\prime }(x)=3x^2$. Thay vào ta được kết quả tương ứng ở phương án C: $I=x^3+3x^2+C$.
Chọn C.