Có bao nhiêu số nguyên $x$ là nghiệm của bất phương trình ${\log }_3\left(\frac{x^2-x+4}{27}\right)+2{\log }_5(x^2-x+5)\le 0$?

Chọn D.

Đặt $t=x^2-x+4=(x-1/2{)}^2+15/4>0$.
Bất phương trình trở thành:
${\log }_{3}t-3+2{\log }_5(t+1)\le 0\iff {\log }_3(t+1-1)\dots$
Hay đặt $u=x^2-x+4$. Nhận thấy với $t=2$, ${\log }_3(2+1)+2{\log }_5(2^2+1)-3=1+2-3=0$.
Hàm số $g(t)={\log }_3(t+1)+2{\log }_5(t^2+1)-3$ đồng biến với mọi $t>0$.
Do đó nghiệm thỏa mãn $t\le 2\iff x^2-x+4\le 2$ hoặc qua biến đổi hàm số chuẩn ta có $x^2-x\le 0\iff 0\le x\le 1$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{0,1\}$. Có đúng 2 số nguyên.