Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $(5^x-125)({\log }_3^{2}x-8{\log }_{3}x+15)<0$

Điều kiện $x>0$. Ta có $5^x-125=0\iff x=3$ và ${\log }_3^{2}x-8{\log }_{3}x+15=0\iff x\in \{27;243\}$. Lập bảng xét dấu trên $(0;+\infty )$, bất phương trình nghiệm đúng khi $0<x<3$ hoặc $27<x<243$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{1;2\}\cup \{28;29;\dots ;242\}$, có tất cả $2+215=217$ số nguyên.