Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_7(225-x)<{\log }_3\left(\sqrt{225-x}+2\right)$?

Điều kiện: $x<225$. Đặt $t=\sqrt{225-x}>0$, bất phương trình trở thành $2{\log }_{7}t-{\log }_3(t+2)<0$. Xét $f(t)=2{\log }_{7}t-{\log }_3(t+2)$ trên $(0;+\infty )$, ta có $f^{\prime }(t)=\frac{2(t+2)\ln 3-t\ln 7}{t(t+2)\ln 3\ln 7}=\frac{t(\ln 9-\ln 7)+4\ln 3}{t(t+2)\ln 3\ln 7}>0,\forall t>0$. Do đó $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ và $f(7)=2-2=0$, suy ra $f(t)<0\iff 0<t<7\iff 0<225-x<49\iff 176<x<225$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{177;178;\dots ;224\}$, có $48$ số nguyên $x$. Chọn B.