Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn $\frac{9^x+3^{x+1}-18}{{\log }_2(-x^2+x+6)-2}\le 0$?

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}-x^2+x+6>0\\ {\log }_2(-x^2+x+6)-2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ -x^2+x+6\ne 4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ x^2-x-2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ x\ne -1,x\ne 2\end{array}$
Vì $x$ là số nguyên nên $x\in \{0;1\}$.

Xét dấu biểu thức:
- Tử số: $T(x)=(3^x{)}^2+3\cdot 3^x-18=(3^x-3)(3^x+6)$.
+ Với $x=0$: $T(0)=1+3-18=-14<0$. Mẫu số $M(0)={\log }_{2}6-2>{\log }_{2}4-2=0$. Khi đó $\frac{T(0)}{M(0)}<0$ (thỏa mãn $\le 0$).
+ Với $x=1$: $T(1)=9+9-18=0$. Mẫu số $M(1)={\log }_{2}6-2\ne 0$. Khi đó phân thức bằng $0$ (thỏa mãn $\le 0$).

Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $x$ ($x=0,x=1$) thỏa mãn bất phương trình.