Có bao nhiêu số tự nhiên có $7$ chữ số khác nhau từng đôi một, trong đó chữ số $2$ đứng liền giữa chữ số $1$ và chữ số $3$?

Chọn D.

Chữ số 2 đứng liền giữa 1 và 3 tạo thành một khối có dạng $(123)$ hoặc $(321)$ (2 cách sắp xếp khối).
Trường hợp 1: Chữ số đầu tiên bằng 0:
- Có 4 vị trí cho khối 3 chữ số.
- Chọn 3 chữ số từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3$.
Số cách: $4\cdot 2!\cdot A_6^3$.
Trường hợp 2: Sắp xếp bất kỳ (kể cả số 0 đứng đầu):
- Có 5 vị trí cho khối.
- Chọn 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại: $A_7^4$.
Số cách: $5\cdot 2!\cdot A_7^4$.
Vậy số các số thỏa mãn: $5\cdot 2!\cdot A_7^4-4\cdot 2!\cdot A_6^3=7440$.