Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của $x$ thuộc khoảng $(1;20)$ để $\forall y\in \left(\frac{1}{3};1\right)$ đều thoả mãn ${\log }_{x}y>{\log }_{y}x$?

Chọn B.
Với $x\in (1;20)$ và $y\in \left(\frac{1}{3};1\right)$, ta có $x>1$ và $0<y<1$, nên ${\log }_{x}y<0$.
Bất phương trình:
$${\log }_{x}y>\frac{1}{{\log }_{x}y}\iff {\log }_{x}y-\frac{1}{{\log }_{x}y}>0\iff \frac{({\log }_{x}y{)}^2-1}{{\log }_{x}y}>0.$$
Vì ${\log }_{x}y<0$ nên bất phương trình tương đương:
$$({\log }_{x}y{)}^2-1<0\iff -1<{\log }_{x}y<1\iff -1<{\log }_{x}y<0.$$
Vì $x>1$, ta có:
$$-1<{\log }_{x}y\iff \frac{1}{x}<y.$$
Để điều này thỏa mãn với mọi $y\in \left(\frac{1}{3};1\right)$ thì:
$$\frac{1}{x}\le \frac{1}{3}\iff x\ge 3.$$
Kết hợp $x\in (1;20)$ và $x$ nguyên, ta được $x\in \{3;4;5;\dots ;19\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $19-3+1=17$.