Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x)=m{x}^2-x^3-3x-2020$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 43 chọn đáp án A.

Ta có $f(x)=-x^3+m{x}^2-3x-2020$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)=-3x^2+2mx-3$.
Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}$.
Điều này tương đương với:
$\{\begin{array}{l}a=-3<0\\ {\Delta }^{\prime }=m^2-(-3)(-3)\le 0\end{array}⟺m^2-9\le 0⟺-3\le m\le 3$.
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) nên $m\in \{1;2;3\}$.
Vậy có tất cả 3 giá trị nguyên dương của $m$.

Chọn đáp án A.