Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=mx+1$ cắt đồ thị $(C):y=x^3-x^2+1$ tại $3$ điểm $A,B(0;1),C$ phân biệt sao cho tam giác $AOC$ vuông tại $O(0;0)$?

Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-x^2+1=mx+1\iff x(x^2-x-m)=0$. Để $d$ cắt $(C)$ tại $3$ điểm phân biệt thì $x^2-x-m=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_A,x_C\ne 0\iff m>-\frac{1}{4}$ và $m\ne 0$. Khi đó $x_A+x_C=1,x_A{x}_C=-m$. Tam giác $AOC$ vuông tại $O\iff \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}=0\iff x_A{x}_C+(m{x}_A+1)(m{x}_C+1)=0\iff (1+m^2)(-m)+m+1=0\iff m^3-1=0\iff m=1$ (thỏa mãn). Vậy có $1$ giá trị của $m$. Chọn đáp án B.