Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $a$, sao cho tồn tại số thực $x$ thỏa mãn: $x+{\log }_2\frac{x-2}{4}={\log }_{2}a\cdot \log x+x^{\log a}$?

Điều kiện: $x>2$. Sử dụng $x^{\log a}=a^{\log x}$, phương trình viết lại thành $(x-2)+{\log }_2(x-2)=x^{\log a}+{\log }_2(x^{\log a})$. Do hàm số $h(t)=t+{\log }_{2}t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên $x-2=x^{\log a}⟺x^{\log a}-x+2=0$. Với $a\in {\mathbb{Z}}^{+}$, phương trình có nghiệm $x>2$ khi và chỉ khi $\log a<1⟺1\le a\le 9$. Vậy có $9$ số nguyên dương $a$.