Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ tồn tại ít nhất 1011 số nguyên $x$ thuộc $(0;2022)$ thỏa mãn $4^{x+y}+2x^3\le (2x+1)4^y+x^2(4^x-1)$?

Bất phương trình tương đương: $(4^x-2x-1)(x^2-4^y)\ge 0$.
Với $x\ge 1$ thì $4^x-2x-1>0$, do đó bất phương trình tương đương $x^2-4^y\ge 0\iff x\ge 2^y$.
Số nguyên $x\in (0;2022)$ thỏa mãn là $2^y\le x<2022$.
Số lượng số nguyên thỏa mãn là $2021-2^y+1\ge 1011\iff 2^y\le 1011\iff 1\le y\le {\log }_{2}1011\approx 9,98$.
Vì $y$ nguyên dương nên $y\in \{1,2,\dots ,9\}$. Có tất cả 9 số nguyên dương $y$ thỏa mãn.