Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Nếu biểu diễn ${\log }_{6}45=\frac{a(m+nb)}{b(a+p)}$ thì $m+n+p$ bằng:

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{6}45=\frac{\log 45}{\log 6}=\frac{\log 9+\log 5}{\log 2+\log 3}$. Với $a={\log }_{2}3$ thì $\log 2=\frac{\log 3}{a}$, nên $\log 2+\log 3=\log 3\left(\frac{1}{a}+1\right)=\frac{\log 3(1+a)}{a}$. Với $b={\log }_{5}3$ thì $\log 5=\frac{\log 3}{b}$. Do đó $\log 45=2\log 3+\frac{\log 3}{b}=\log 3\cdot \frac{2b+1}{b}$. Vậy ${\log }_{6}45=\frac{\log 3\cdot \frac{2b+1}{b}}{\log 3\cdot \frac{1+a}{a}}=\frac{a(1+2b)}{b(1+a)}$. So sánh với $\frac{a(m+nb)}{b(a+p)}$ ta được $m=1,n=2,p=1$, suy ra $m+n+p=4$. Đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 119, câu 8: D).