Diện tích của phần hình phẳng gạch chéo trong hình bên bằng

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:
$x^2=-x^3+2x\iff x^3+x^2-2x=0\iff x(x-1)(x+2)=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-2\\ & x=0\\ & x=1\end{array}$.

Diện tích phần hình phẳng gạch chéo là:
$S={\int }_{-2}^1|x^3+x^2-2x|dx={\int }_{-2}^0(x^3+x^2-2x)dx+{\int }_0^1-(x^3+x^2-2x)dx$
$=\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_{-2}^0-\left(\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right){|}_0^1$
$=-\left(4-\frac{8}{3}-4\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-1\right)=\frac{8}{3}-\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{8}{3}+\frac{5}{12}=\frac{37}{12}$.