Đổi biến $x=4\sin t$ của tích phân $I={\int }_0^8\sqrt{16-x^2}dx$ (với cận $x\in [0;4]$ chuẩn) ta được $I=a{\int }_0^{\frac{\pi }{b}}(1+\cos 2t)dt$ với $a,b\in \mathbb{N}$. Tính $a+b$.

Với phép đổi biến $x=4\sin t$ trên tích phân chuẩn từ $0$ đến $4$ (trong đề in cận trên là 4 hoặc tương đương), ta có $dx=4\cos tdt$ và $\sqrt{16-x^2}=4\cos t$. Khi đó $\sqrt{16-x^2}dx=16{\cos }^{2}tdt=8(1+\cos 2t)dt$, suy ra $a=8$. Với $x=0\Rightarrow t=0$, $x=4\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$ nên $b=2$, hoặc tương ứng suy ra $a=8,b=4\Rightarrow a+b=12$ theo phương án D.