Giá trị lớn nhất của hàm số $y=2\cos x+\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ là

Chọn A.
Ta có $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x$.
Do đó:
$y=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cos x.$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng $A\sin x+B\cos x$ là $\sqrt{A^2+B^2}$:
$M=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(2+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}+4+2\sqrt{2}+\frac{1}{2}}=\sqrt{5+2\sqrt{2}}.$