Giải các phương trình sau

a) $2\sin 4x+1=0$.

b) $3\cos x-2=0$.

c) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0$.

d) $\cot (3x+1)+1=0$.

e) $(\sin 3x+1)\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$.

f) $\sin 7x+\cos 2x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 115. Giải từng phương trình:

a) $2\sin 4x+1=0\iff \sin 4x=-\frac{1}{2}$. Suy ra $4x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi$ hoặc $4x=\frac{7\pi }{6}+2k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$ hoặc $x=\frac{7\pi }{24}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$.

b) $3\cos x-2=0\iff \cos x=\frac{2}{3}$ (thỏa mãn $|\cos x|\le 1$). Vậy $x=\pm \arccos \frac{2}{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

c) $3\tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)-\sqrt{3}=0\iff \tan \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}=\tan \frac{\pi }{6}$. Suy ra $x+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{6}+k\pi$, tức $x=k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (điều kiện tan xác định luôn thỏa).

d) $\cot (3x+1)+1=0\iff \cot (3x+1)=-1=\cot \left(-\frac{\pi }{4}\right)$. Suy ra $3x+1=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, tức $x=-\frac{\pi }{12}-\frac{1}{3}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$.

e) $(\sin 3x+1)\left(2\cos x-\sqrt{3}\right)=0$.
• $\sin 3x=-1\Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$.
• $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$.
Vậy tập nghiệm là $x=-\frac{\pi }{6}+\frac{2k\pi }{3}$ hoặc $x=\pm \frac{\pi }{6}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

f) $\sin 7x+\cos 2x=0\iff \sin 7x=-\cos 2x=\sin \left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)$.
• Trường hợp 1: $7x=-\frac{\pi }{2}-2x+2k\pi \Rightarrow 9x=-\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{9}$.
• Trường hợp 2: $7x=\pi -\left(-\frac{\pi }{2}-2x\right)+2k\pi =\frac{3\pi }{2}+2x+2k\pi \Rightarrow 5x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{3\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$.
Vậy $x=-\frac{\pi }{18}+\frac{2k\pi }{9}$ hoặc $x=\frac{3\pi }{10}+\frac{2k\pi }{5}$, $k\in \mathbb{Z}$.