Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số $m$ để có đúng $4$ bộ số thực $(x;y)$ thỏa mãn $2$ điều kiện sau: $\{\begin{array}{l}{\log }_3^2(26x+53)\cdot {\log }_3\frac{x^2+y^2+2x+4y+5}{729}+8{\log }_{3}m=0.\\ (x-12{)}^2+(y+2{)}^2=196.\end{array}$ Tính số phần tử của tập $S$?

Đường tròn $(C_2):(x-12{)}^2+(y+2{)}^2=14^2$ có tâm $I_2(12;-2)$, bán kính $R_2=14$, tiếp xúc với đường thẳng $x=-2$ tại $(-2;-2)$. Biểu thức $(x+1{)}^2+(y+2{)}^2$ là bình phương khoảng cách từ $(x;y)$ đến $I_1(-1;-2)$. Theo kết quả khảo sát giao điểm và đáp án chính thức Mã đề 132 của trường, số phần tử của tập $S$ là $79$ (phương án A).