Gọi $T$ là tổng các giá trị thực của $m$ để phương trình $4z^2+6z+1+2m=0$ có nghiệm phức thỏa mãn $|z|=2$. Tính $T$?

${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-4(1+2m)=5-8m$.

+) Nếu ${\Delta }^{\prime }\ge 0⟺m\le \frac{5}{8}$, phương trình có $2$ nghiệm thực. Khi đó $|z|=2⟺z=\pm 2$.

Thế $z=2$ vào phương trình ta được: $16+12+1+2m=0⟺m=-\frac{29}{2}$ (nhận).

Thế $z=-2$ vào phương trình ta được: $16-12+1+2m=0⟺m=-\frac{5}{2}$ (nhận).

+) Nếu ${\Delta }^{\prime }<0⟺m>\frac{5}{8}$, phương trình có $2$ nghiệm phức $z_1,z_2\notin \mathbb{R}$ thỏa mãn $z_2={\bar{z}}_1,|z_1|=|z_2|=2$. Khi đó $z_1{z}_2=|z_1{|}^2⟹\frac{1+2m}{4}=2^2⟺m=\frac{15}{2}$ (nhận).

Ta có $T=-\frac{29}{2}-\frac{5}{2}+\frac{15}{2}=-\frac{19}{2}$.