Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $\left(3^{x+2}-\sqrt{3}\right)(3^x-2m)<0$ chứa không quá $9$ số nguyên?

Do $m$ là số nguyên dương nên ${\log }_3(2m)>0>-\frac{3}{2}$.

Khi đó $\left(3^{x+2}-\sqrt{3}\right)(3^x-2m)<0⟺-\frac{3}{2}<x<{\log }_3(2m)$.

Để có không quá $9$ số nguyên $x$ thỏa mãn đề bài (tức $x\in \{-1;0;1;\dots ;7\}$) thì:

${\log }_3(2m)\le 8⟺2m\le 3^8=6561⟺m\le \frac{6561}{2}=3280,5.$

Do $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;\dots ;3280\}⟹$ có $3280$ giá trị của $m$.