Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ vuông tại $A$, $AB=a,AC=a\sqrt{3}$. Tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SAB)$ bằng

Gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Vì tam giác $SBC$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên $SH\perp (ABC)$.
Ta có $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{a^2+3a^2}=2a$.
Do $H$ là trung điểm của $BC$ nên $d(C,(SAB))=2\cdot d(H,(SAB))$.
Kẻ $HM\perp AB$ tại $M$, khi đó $HM\parallel AC$ và $HM=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Kẻ $HK\perp SM$ tại $K$, ta có $HK\perp (SAB)$ nên $d(H,(SAB))=HK$.
Trong tam giác đều $SBC$ cạnh $2a$, đường cao $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác vuông $SHM$ tại $H$:
$$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{M}^2}=\frac{1}{3a^2}+\frac{4}{3a^2}=\frac{5}{3a^2}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{15}}{5}$$
Suy ra $d(C,(SAB))=2HK=\frac{2a\sqrt{15}}{5}$.
Chọn đáp án B.