Hỏi phương trình $3\cdot 2^x+4\cdot 3^x+5\cdot 4^x=6\cdot 5^x$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực?

Chọn A.
Phương trình đã cho tương đương với:
$3{\left(\frac{2}{5}\right)}^x+4{\left(\frac{3}{5}\right)}^x+5{\left(\frac{4}{5}\right)}^x-6=0$.
Xét hàm số $f(x)=3{\left(\frac{2}{5}\right)}^x+4{\left(\frac{3}{5}\right)}^x+5{\left(\frac{4}{5}\right)}^x-6,\forall x\in \mathbb{R}$.
Vì cơ số đều nhỏ hơn 1 nên $f^{\prime }(x)<0,\forall x\in \mathbb{R}$, hàm số $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó phương trình $f(x)=0$ có tối đa một nghiệm thực.
Mặt khác $f(1)=3(2/5)+4(3/5)+5(4/5)-6=\frac{6+12+20}{5}-6=\frac{38}{5}-6=\frac{8}{5}>0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-6<0$ nên phương trình có duy nhất 1 nghiệm thực.
Do đó chọn A (văn bản gốc ghi nhầm Chọn C theo mã đề hoán vị).