Khối chóp có đáy là hình bình hành, một cạnh đáy bằng $a$ và các cạnh bên đều bằng $a\sqrt{2}$. Thể tích của khối chóp có giá trị lớn nhất là

[IMAGE_1]

Gọi $AC\cap BD=O$.

Ta có $SA=SB=SC=SD=a\sqrt{2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}SO\perp AC\\ SO\perp BD\end{array}\Rightarrow SO\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình bình hành $ABCD\Rightarrow ABCD$ là hình chữ nhật.

Không mất tính tổng quát, giả sử $AD=a$ và đặt $AB=x,(x>0)\Rightarrow OA=\frac{1}{2}\sqrt{x^2+a^2}$.

Xét $△SOA$ vuông tại $O$, ta có $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{2a^2-\frac{x^2+a^2}{4}}\iff SO=\frac{1}{2}\sqrt{7a^2-x^2}$.

Lại có $S_{ABCD}=a\cdot x$ nên $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{6}a\cdot x\cdot \sqrt{7a^2-x^2}\stackrel{\text{AM-GM}}{\le }\frac{a}{6}\cdot \frac{x^2+(7a^2-x^2)}{2}=\frac{7a^3}{12}$.

Dấu “$=$” xảy ra khi và chỉ khi $x=\frac{a\sqrt{14}}{2}$.

Vậy thể tích lớn nhất của khối chóp đã cho là $\frac{7a^3}{12}$.