Một hình chóp cụt lục giác đều có thể tích là $\frac{7\sqrt{6}}{2}$, cạnh đáy lớn có độ dài gấp hai lần cạnh đáy nhỏ. Khi trải phẳng hình chóp cụt lục giác đều trên một mặt phẳng thì đáy lớn nội tiếp trên 1 đường đường tròn (như hình vẽ). Tính độ dài cạnh đáy nhỏ của hình chóp cụt lục giác đều biết tròn ngoại tiếp đáy lớn có bán kính đạt giá trị nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cạnh đáy nhỏ là $a$, cạnh đáy lớn $2a$, chiều cao $h$. Diện tích hai đáy: $S_1=\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$, $S_2=6\sqrt{3}{a}^2$. Thể tích $V=\frac{h}{3}(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})=\frac{h}{3}\cdot \frac{21\sqrt{3}}{2}{a}^2=\frac{7\sqrt{6}}{2}\Rightarrow h=\frac{\sqrt{2}}{a^2}$. Cạnh bên của hình chóp cụt: $e^2=h^2+(2a-a{)}^2=\frac{2}{a^4}+a^2$. Khi trải phẳng: lục giác nhỏ có bán kính đường tròn ngoại tiếp $a$, khoảng cách từ tâm đến cạnh đáy nhỏ là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$; đỉnh ngoài của hình thang nằm trên đường tròn bán kính $R$, cạnh đáy lớn (dài $2a$) là dây của đường tròn này nên khoảng cách từ tâm đến đáy lớn là $d=\sqrt{R^2-a^2}$. Chiều cao hình thang trong mặt phẳng: $d-\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nên $e^2={\left(\sqrt{R^2-a^2}-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2+\frac{a^2}{4}$. Suy ra $\sqrt{R^2-a^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{2}{a^4}+\frac{3a^2}{4}}$, tức $R^2=a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{2}{a^4}+\frac{3a^2}{4}}\right)}^2$. Khảo sát hàm $R(a)$: thử $a=1,05\Rightarrow R\approx 2,6947$; $a=1,07\Rightarrow R\approx 2,6924$; $a=1,08\Rightarrow R\approx 2,6927$; $a=1,15\Rightarrow R\approx 2,713$. Giá trị nhỏ nhất đạt tại $a\approx 1,07$. Vậy cạnh đáy nhỏ $\approx 1,07$, khớp đáp án nguồn.