Một hình trụ có chiều cao bằng $2a$, bán kính đáy bằng $a$. Gọi $O,O^{\prime }$ là tâm hai mặt đáy. Kẻ hai bán kính $OA$ và $O^{\prime }{B}^{\prime }$ lần lượt nằm trên hai mặt đáy sao cho góc giữa chúng bằng $30^{\circ }$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng chứa đường thẳng $A{B}^{\prime }$ và song song với $O{O}^{\prime }$. Tính diện tích thiết diện của hình trụ cắt bởi mặt phẳng $(\alpha )$.